Khintchine–Groshev定理：超越去除单调性

项目概览

埃克塞特大学数学与统计系提供“Khintchine–Groshev定理：超越去除单调性”全日制Mathematics博士，参考号6019，具名地点Streatham校区Harrison/Laver，2027年9月入学。申请截止2026年12月8日中午12:00 GMT，即北京时间20:00。包括中国在内的合格国际申请人可竞争最长3.5年DLA资助；获奖者全额学费含学校豁免国际差额，£21,805仅为2026/27津贴参考并随标准调整，£5,000研究培训费为3.5年全期合计。国际名额最多占队列30%，签证、IHS与搬迁自理。

项目详情

项目主要研究丢番图逼近，即实数能以怎样的精度被有理数逼近，以及这一问题的多种推广。相关集合常具有分形特征，因此分形几何能够提供研究其大小与结构的工具。广告提及相关数学在医学、材料、地质及无线通信中的广泛应用背景；本项目本身的主要目标仍是纯数学定理研究，不是承诺开展这些领域的具体实验或开发通信系统。

Khintchine在1924年提出的经典定理指出：对于给定的逼近速度，能够被有理数反复逼近的实数集合，其Lebesgue测度为零还是满测度，取决于一个级数是否收敛。经典结果需要单调性条件。Duffin与Schaeffer在1941年给出反例，表明在经典一维情形中不能简单去除这一条件，并提出恰当的非单调版本猜想。广告指出，Koukoulopoulos与Maynard在2020年的工作解决了Duffin–Schaeffer猜想；这不能理解为所有丢番图逼近问题都已解决。

Khintchine–Groshev定理把上述研究推广到更高维的线性形式系统。Beresnevich与Velani在2010年证明，齐次版本除退化为经典一维Khintchine问题的情形外，可以不要求单调性。随后Allen与Ramírez以及Hauke、Kim等人在2023年至2026年的一系列研究中推进了非齐次版本；广告认为，除已知单调性确实必要的经典一维情形外，相关去除条件的问题已获得解决。因此，这个博士项目希望研究的是去除单调性之后的新问题，而不是把已经解决的同一个问题重新当作唯一目标。

【三个可探索方向】

第一，研究“独立性继承”现象的进一步应用。Allen与Ramírez在2023年的工作建立了一种现象：某些低维集合之间的独立性，能够带来相应更高维集合更强层次的概率独立性。最初的动机是非齐次Khintchine–Groshev定理，但该结果具有更一般的形式，可寻找它在丢番图逼近或其他数学问题中的用途。具体可推进的命题及其假设，需要在博士研究中确定。

第二，研究分形上的Khintchine–Groshev型定理。Khalil与Luethi以及Bénard、He、Zhang等人的近期工作，已经在某些自相似集合上建立了经典Khintchine定理的对应结果。博士可以进一步考虑线性形式系统在分形背景下的类似问题。已有某类分形上的结论，不等于所有分形或所有矩阵问题都已经有一般答案。

第三，研究多变量Khintchine–Groshev定理与矩阵逼近。Zhang、Wang、Li在2023年研究非齐次乘法丢番图逼近，其论证使用了Allen与Beresnevich在2018年建立的线性形式系统测度转移原理，以及Khintchine–Groshev定理。可能的拓展包括放松其中对逼近函数的单调性要求，以及把单变量逼近函数推广为多变量函数。三个方向是供讨论的研究选择，并非明确要求一位博士同时完成全部方向。

这些历史结果在研究范围上有明确区别。经典的一维逼近、高维线性形式系统、齐次问题和非齐次问题，不能当成同一个定理。某个维度已经去除单调性，不意味着其他问题中的全部条件都能够一并删除。阅读项目所列文献时，需要同时辨明所讨论的集合、测度、逼近函数及其适用情形，避免把一个受限制的数学结论表述成没有条件的普遍结论。

申请要点

主导师Demi Allen（d.d.allen@exeter.ac.uk），共同导师Julio Andrade（j.c.andrade@exeter.ac.uk）。具名PDF要求数学或含大量数学内容的学位，最终/预计2:1及等值为偏好；一般课程为本科或研究生有充分数学内容、本科通常First或较强2:1。DLA另允许2:2加硕士或显著相关非学术经历被考虑，个人路径须招生认定，不把偏好一律改成项目硬门槛。中国PGR通常看三年制硕士及毕业、学位材料；Streatham数学英语Profile A为IELTS Academic总6.0、各6.0或认可替代。经具名PDF的APPLY HERE入口申请，最多三个项目分别提交，个人陈述写偏好；交项目陈述、CV、成绩单、两封推荐信和适用英语证明，全部材料用英文，学历非英文须认证翻译。推荐信最迟于2027年1月8日送达pgrapplicants@exeter.ac.uk，使用机构邮箱或合规机构抬头签字件。三条纯数方向是可讨论选择，不要求一位博士同时完成；不新增大型研究计划或预先发表论文要求。

需要进一步确认

应明确拟选三个方向中的哪一个、首阶段问题及需要补充的基础；各方向没有固定论文题目或肯定结果保证。还需落实个人学历与语言等值、日常指导、个人2027津贴、资金结束与注册延续费用及可能无资助写作期。

已核申请与资助依据：院系DLA轮次、2027国际资助条款、具名项目PDF。

埃克塞特纯数学博士：Khintchine–Groshev定理在去除单调性之后

申请判断

适合希望在度量数论、测度论与分形几何中接受纯数学研究训练的申请者。 项目的主要吸引力，是选题与Demi Allen的研究直接相连，并有Julio Andrade担任另一位导师。它不是以短期工业应用为主的岗位。正式项目文件明确为数学博士，地点是Streatham校区Harrison／Laver；三个方向是可供讨论选择的研究路径，并非同时完成的固定任务。具名项目文件。

EPSRC博士培养资助计划的申请截止为2026年12月8日英国中午，北京时间20:00，计划2027年9月入学。国际申请者可以竞争有限的全额资助名额，获符合条件的2027年DLA奖项后，海外学费差额由学校覆盖。公布的21,805英镑年津贴是2026/27年度参照值，不是已经确认的2027年9月入学金额。申请前确认个人中国学历等值，并安排推荐信最迟于2027年1月8日送达。数学系奖项6019；DLA正式条件。

研究问题与博士实际工作

丢番图逼近研究实数或线性形式系统能够以怎样的精度被整数关系逼近。度量型定理关注的是：满足无穷多次特定精度逼近的点，组成了多大的集合。“Lebesgue测度为零或满测度”与“精确Hausdorff维数”回答的问题不同；它们也不同于为某一个给定实数计算一个有理近似值的算法。

项目从Khintchine–Groshev定理及其高维非齐次版本的去单调性进展出发。经典一维情形仍是关键例外，不能把其他维度中去除单调性的结论直接推广到一维。Allen、Hauke-Treuer与Ramírez的2026年预印本摘要报告，解决了固定非齐次参数问题中剩余的二维情形。因此，这个博士要寻找的是该进展之后的问题，而不是把已经解决的同一问题当作唯一目标。2026年原始摘要。

可选方向	主要研究工作	与导师一起缩小的问题
独立性继承的应用	理解增加维度后逼近集合的概率独立性质如何变化，寻找新的使用场景	哪一类集合、哪一种依赖关系与哪个目标定理适合形成首个课题？
分形上的逼近定理	研究某个具体分形或分形测度中的Khintchine–Groshev型结论	哪些相似变换、测度及维数假设不可缺少，前人已覆盖哪些情形？
多变量与矩阵逼近	从已有矩阵逼近结果出发，考察逼近函数从单变量扩展到多变量及其单调性条件	从哪条结果起步，具体希望改变哪一项假设？

日常研究可能包括读论文、重建证明、比较假设、构造例子或反例、写论证以及讨论失败的路线。这是根据广告中的定理问题作出的工作解释，并非学校规定的每周日程。计算可以帮助形成直觉，但有限数值样本不能证明一个几乎处处成立的结论或Hausdorff测度定理。申请者需要接受这种工作方式，也需要接受早期进展可能首先是缩小问题，而不是立刻得到新定理。

分形方向尤其要避免把研究范围说大。Khalil与Luethi的摘要针对由有理相似变换生成、且Hausdorff余维足够小的自相似结构，并给出五进制缺一位数字的Cantor集合例子；它不是所有分形的一般结论。选题时应明确已有定理覆盖之外的具体情形。广告中的医学、材料、地质与无线通信，是相关数学的广泛应用背景，不等于这位博士已有这些领域的应用工作包。领域基础研究。

学校、学科与培养环境

埃克塞特大学在QS世界大学排名2027中位列136，2026年为155。这是学校整体层面的信号，不能当作该导师的排名或个人科研结果预测。课程页面另引用了2024年Leiden排名中数学与计算机科学高被引论文比例的前十表现；这是特定指标和合并学科范围，不能改写成数学综合实力全球前十。QS官方档案；数学博士课程。

更值得关注的是具体学术环境。学校纯数学涵盖数论、几何、分析及动力系统；数论、代数与几何研究方向列有Andrade，Allen为关联成员。这样的环境有利于寻找讨论与报告机会，但不能只凭人员名单推定每位老师都会提供日常指导。本项目明确在Streatham，不能将不同校区的语言要求和培养安排混用。研究方向与成员。

现行数学与统计学升级规则要求全日制学生在第9个月末提交约5,000词报告，通常在随后6周内口试，并于第12个月内完成博士资格升级。报告包含研究问题、批判性文献综述、目标、方法与已有进展，还须说明生成式AI使用情况；由两名非导师评审。第20与第30个月另有进度考核。这些是培养要求，不是要求第一年就必须发表重大新定理。数学升级章节。

针对2022/23起入学的数学博士，受考核课程至少对应100小时授课接触与准备时间合计，通常争取第一年完成，少数模块可以推迟。100小时合计包括准备时间，不能理解为100小时纯课堂教学。Exeter参与MAGIC与APTS，按规则组织的导师指导阅读也可以计入。应与导师商定适合的课程及考核方式，使数学广度训练支持论文研究，并确认现行规定如何适用于2027届。数学训练与考核要求。

导师与论文证据

正式文件指定Demi Allen为主导师，Julio Andrade为另一位导师。 Allen的个人学术档案把度量丢番图逼近、分形几何和收缩目标问题列为主要兴趣。她早期关于测度转移的博士研究，以及之后的工作，与本选题直接相关。Andrade提供数论方向的指导环境；但日常分工、见面频率及不同研究路线中由谁主要负责，尚未公开，不能仅凭两个姓名推定安排。Allen学术档案；正式项目。

三篇近期重要的主导师成果，分别说明了这个机会的不同侧面：

• Allen、Hauke-Treuer与Ramírez，2026年，《二维非齐次Khintchine定理》。 原始预印本摘要报告去除了剩余二维情形的单调性条件，使固定参数非齐次理论与齐次理论相接近。它的作用是更新博士选题起点。本报告阅读的是2026年5月预印本版本，不对完整证明作技术审计，也不宣称已在期刊发表。原始摘要与版本。
• Allen、Jordan与Ward，2026年，IMRN，《自相似地毯上的矩形收缩目标》。 原始摘要给出指定收缩目标集合的精确Hausdorff维数，并指出结果依赖目标中心，说明导师近期如何连接几何与逼近研究。它没有解决全部分形Khintchine–Groshev问题，“自相似地毯”也不能替换成“任意分形”。机构记录列明2026年5月21日发表。原始摘要及出版信息。
• Allen与Ramírez，IMRN 2023，《独立性继承与线性形式系统的丢番图逼近》。 出版商摘要建立了独立性继承现象与相关定理之间的联系，并在规定维度范围去除单调性，对当时的边界情形保留额外条件。期刊卷期为2023年，在线发表在2022年6月。理解该文当时的边界情形时，应同时考虑2026年的后续进展。出版商原始摘要。

另外两项基础工作有助于区分可能使用的工具。Allen与Ramírez在2023年的原始摘要研究本原性约束，其中一项结果针对至少三个变量，不能写成不受维度限制的一般定理。Allen与Beresnevich的2018年测度转移论文，将适当的Lebesgue测度结论转为Hausdorff测度结论，包含线性形式系统。后者与广告中的矩阵方向直接相关，但不能充当近期论文计数。本原性约束；测度转移。

以上判断基于原始摘要、出版和版本信息，以及2018年论文的部分引言，不代表完整证明审读。它们能够支持对贡献、选题关联及主要范围限制的判断，但不足以逐项评估全部技术假设，或保证某个拟议推广确有新颖性。

方向前景与研究可行性

这是一个仍在推进、边界变化较快的专门领域。Kim的2025年文章证明了部分非齐次边界情形，并列出当时仍开放的问题；之后2026年Allen等人的预印本更新了固定参数情形的进展。仅引用2023或2025年的开放问题清单，有可能把已经解决的问题再次提出。Kim的原始结果与讨论。

面试准备可以深入比较一条主路线和一条较小的替代路线。例如，解释已有哪种独立性质、希望研究什么集合、哪些假设必须保留。分形方向则应区分环境空间的Lebesgue测度结论，以及某个具体集合上奇异测度的结论。这些是准备建议，不是要求申请者先证明一条未经核实的新定理，也不是新增研究计划格式要求。

可行性风险主要是问题过大、所需技术准备过长，或遗漏最新成果。应和导师确定初期阅读内容、能够推进的次级问题，以及路线停滞时何时重新评估。三个可选方向提供了灵活性，却不意味着换方向没有代价，也不能保证每一条路线都在3.5年资助期内得到肯定结果。

职业准备最直接地指向数学研究及相关博士后岗位。证明写作、抽象能力和批判性分析可以迁移到其他分析工作，但纯理论论文不会自动提供软件工程、统计建模或金融经验。课程页面列有数学研究生的部分去向，而且明确将职位和机构分别列出，不能配对推断或当作就业率，也不是Allen学生的专属结果。若考虑学术之外的路径，应询问过往培养情况，以及补充相关技能的机会。课程职业信息。

资助与生活成本

现行DLA为获奖且符合条件者提供最长3.5年指数调整津贴、学费支持，以及3.5年全期合计5,000英镑研究训练经费。研究经费不是可自由支配的个人收入。国际生奖项最多占队列30%，学校明确覆盖符合条件的2027届DLA获奖者海外学费差额。学术录取与奖学金选拔仍是两个需要分别满足的条件。DLA资金与资格。

奖项正文把21,805英镑写为2026/27现行年标准，但页尾摘要把同一数字标成2027/28。本报告以正文的历史参照口径表述，并建议确认入学年度金额。数学课程2027/28普通国际生年学费为27,600英镑，它是课程参考值，不是全额DLA学费豁免后仍要扣除的个人账单。接受前应书面核定个人资助起止日期，以及超过津贴支持期后可能发生的注册或延续费用。奖项6019；课程学费。

学校估计单人在Exeter或Cornwall的基本支出约为每月1,300—2,000英镑。其2026年4月当地支出表中，自炊学生宿舍每周150—270英镑、含账单；私人房间每周135—250英镑、不含账单。需要核对合同周数、研究生资格和房源，不能默认能取得最低价房间。每周汇总与每月区间来自不同取舍和取整，也不是2027年租约报价。预算适用范围与费用表。

按DLA条件，国际申请者自行承担签证、医疗附加费及赴英搬迁费用。个人预算还应列入押金、机票、初期用品和首笔津贴到账前的现金需要。广告津贴和平均生活费不能推出固定月结余；个人报销、家庭开支及所有延续注册费用尚不能由现有材料确定。

申请适配与准备

具名文件要求数学或含大量数学内容的学位，并偏好最终或预计2:1及等同成绩。课程要求本科或研究生所学具有充分数学内容，本科通常为一等或较强二等一；通用DLA也允许二等二加硕士或显著相关非学术经历的申请者被考虑。这些是申请与录取条件，满足最低要求不代表会在竞争中获奖。项目要求；课程准入。

对中国申请者，国家页面一般要求完成国内三年制硕士并取得毕业证、学位证；其中本科75%／70%的表格明确用于授课型研究生，不能直接当作博士分数线。两年制硕士、仅本科或其他背景应交招生部门个案认定，不能据此断言自动接受或一概拒绝。中国PGR学历说明。

本项目所在Streatham数学课程采用Profile A：雅思学术类总分6.0、每项至少6.0，接受表中其他资格，并要求在入学前两年有效期内。当前表格包括One Skill Retake，不能套用其他学校或校区的政策。课程指定档；Profile A测试表。

有说服力的准备，应体现严密证明经验及处理测度论论证的基础。围绕一条定理说明假设、展示一小段认真完成的论文或阅读项目，可能比宽泛罗列数学兴趣更有帮助。数论、实分析、概率与分形几何是有用的准备方向，但这属于适配判断，不是新增必修清单。可以请导师说明哪些基础缺口适合在第一学期补足。

申请步骤与待确认问题

使用这份具名PDF内的APPLY HERE链接，其指向Exeter奖学金申请入口，代码为SSHIPDUM000194、code2=0031。课程一般自费申请流程及更晚的6月／7月截止，不能替代DLA竞争。材料包括在顶部写明项目名称的个人陈述、CV、完整或临时成绩单、两份推荐信、当前英语证明，以及适用的认证翻译。没有证据表明所有人还必须另交大型完整研究计划；项目若有额外要求，应进一步核对。具名申请文件。

当前数学奖项6019要求两封推荐信最迟于2027年1月8日送达pgrapplicants@exeter.ac.uk，使用机构邮箱或机构抬头签字件；全部申请材料用英文。最多三个项目各自申请，个人陈述写偏好。统一面试拟2027年2月15—24日，可能先有技术考察，三月起出结果。系级材料要求；DLA资助条款。

申请前明确个人学历等值、偏好路线及PDF入口，安排推荐信最迟1月8日送达；面试时讨论首个可完成的问题、证明阅读支持、两位导师分工与课程；接受前核实个人津贴、完整学费覆盖、资金与注册终止时间、住宿和offer列出的移民条件。这些未知影响个人适配与offer判断，并不表明该项目已经截止。

证据与来源

• Official Mathematics and Statistics DLA award6019
• Named Allen Mathematics2027 project PDF
• EPSRC DLA2027 scheme overview
• EPSRC DLA2027 important information
• Mathematics doctoral programme
• English language ProfileA
• China qualifications guidance
• Demi Allen personal academic profile
• The inhomogeneous Khintchine Theorem in dimension two
• Rectangular shrinking targets on self-similar carpets
• Independence inheritance and Diophantine approximation for systems of linear forms
• Inhomogeneous approximation for systems of linear forms with primitivity constraints
• Random walks spectral gaps and Khintchine’s theorem on fractals
• Mass transference principle for systems of linear forms and applications
• Exeter international student budgeting April2026
• QS Exeter2027 institutional ranking
• Exeter Number Theory Algebra and Geometry research theme
• Inhomogeneous Khintchine Groshev theorem without monotonicity
• Mathematics and Statistics upgrade requirements
• Mathematics assessed training and progress requirements